천문(우주)

원은 완전한 도형이고, 구는 완전한 입체일 거 같다.
그래서, 우주는 그러한 모양을 갖고 있고, 그러한 궤도를 돌 거 같다.
하지만 뚜껑을 열어보면 의외로 타원이라는 복잡한 관계를 접하게 된다.
태양계 모든 행성이 태양을 중심으로 원운동을 한다면 얼마나 좋을까마는 그렇지 않기에 많은 문제에 부딪히게 된다.

타원

타원은 여러가지 방식으로 정의할 수 있으며, 어떻게 정의를 내리든 같은 방정식을 도출한다면 올바른 정의라 할 수 있다.
여기서는 우리(동의하지 않는다면 필자)가 알고 있는 가장 일반적인 방식으로 정의하자.

타원 : 평면 상에서 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합(자취).

직교좌표계에서, 두 정점을 있는 직선을 그어 x축으로 잡고, 그 두 정점의 중심을 원점으로 잡아, 타원이 x축의 양의 방향과 만나는 점을 A라 하고 타원이 y축의 양의 방향과 만나는 점을 B라 하고, 정점 중 x축의 양의 방향에 있는 점을 C라 하고 세 점의 좌표를 A(a,0), B(0,b), C(c,0)이라고 하자.

이를 그림으로 나타내면 아래와 같다.

이 타원의 방정식은 타원 위를 움직이는 점 P의 자취를 구하는 방법에 의해 다음과 같음을 알 수 있다.

타원 방정식 : x²/a² + y²/b² = 1

또한, C'A+CA = C'B+CB로부터 a² = b² + c²임을 알 수 있으며, 이는 a(OA의 길이)는 BC의 길이와 같음을 의미한다.

타원을 표현하는 다른 방법도 많이 있는데, 그 중 두 가지만 더 알아보자.
원기둥을 비스듬하게 자르면 그 면은 타원면이 된다. 원기둥에 수직이 되게 자르면 원이 되며, 원기둥 방향으로 많이 비스듬하게 자를 수록 장축이 길어져 길쭉한 타원이 된다.
원뿔도 적당히 비스듬하게 자르면 타원면을 볼 수 있는데, 참고로 자르는 방향에 따라 원, 타원, 쌍곡석, 포물선을 볼 수 있다.

원과 타원은 밀접한 관계가 있는데, 원이 그려진 평면을 적당히 비스듬하게 하여 정사영하면 타원 그림자를 볼 수 있다.
원기둥에서 자르는 것과 비슷한 개념인데, 원을 비스듬하게 정사영하여 타원 그림자를 볼 수도 있고, 다른 말로 하면 어떤 타원도 적당히 비스듬하게 정사영하면 원 그림자를 만들 수 있기도 하다.
이는 타원에서 대충 원형을 만든다거나 원에서 대충 타원형을 만든다는 게 아니라 정확한 원과 타원으로 변환이 가능하다는 뜻이다.

타원이 원에서 장축을 기준으로 비스듬해진 각도를 θ라 하면, 반지름 a인 원의 면적은 πa², 위 그림과 같은 타원의 면적은 원의 면적을 cosθ배한 값으로써 πab가 된다.

이심률(離心率)

타원의 둥근(혹은 찌그러진, 본 문서에서는 비스듬해진) 정도를 나타내는 방식은 여러 가지가 있다.
위에서 처럼 각도 θ로 표현할 수도 있고, 편평도로 나타낼 수도 있다.

편평도는 장축의 길이에 대한 장축과 단축의 차이의 비율을 나타내는데, 위 타원에서 (a-b)/a 값이 된다.
지구의 편평도는 1/300 정도로 알려져 있는데, 이는 적도 반지름을 a로 잡고 극 반지름을 b로 잡아 계산할 수 있다.

이심률은 장축의 길이에 대한 양 초점 간의 거리의 비율로 나타내는데, 이 값 e = c/a = 루트(a²-b²)/a 이다.
이로부터 초점거리를 장축과 이심률을 이용하여 c = ae로 표현할 수도 있다.

원을 타원의 일부로 일반화하여 정의내린다면, 원은 두 초점이 원점에 있는 타원, 편평도가 0인 타원, 이심률이 0인 타원으로 표현할 수도 있다.

타원체

원을 공간으로 확장한 개념을 구라고 하듯이, 타원을 공간으로 확장한 것을 타원체라고 한다.
그렇다면, 타원체는 어떻게 정의내리고 어떤 모양이 될까?

만일, 타원을 "공간 상에서 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합(자취)."로 정의한다면, 이는 타원의 장축을 중심축으로 하여 회전한 입체가 되며, 직교좌표에서 다음과 같은 방정식을 만족하는 점들이 된다.
이때의 타원체 방정식은 x²/a² + y²/b² + z²/b² = 1이 된다.

장축이나 단축을 중심으로 회전한 타원체를 회전타원체라고 하는데, 위와같이 장축을 중심으로 회전한 경우를 장구(長球), 반대로 단축을 중심으로 회전한 경우를 편구(偏球)라고 한다.
럭비공이 장구, 원반이 편구 모양이라고 생각하면 되겠다. 지구는 편구에 가깝다.
지구 뿐 아니라 행성들 대부분은 이심율이 0에 가까운 편구 형태일 것이다.

편구일 경우의 타원체 방정식은 x²/a² + y²/b² + z²/a² = 1이 된다.

편구의 경우는 정점을 표현하여 정의를 내릴 수 없으며, 타원을 단축을 중심축으로 하여 회전한 입체라는 정도로 정의를 내릴 수 있다.

정점을 세 개 및 그 이상으로 잡아도 타원체를 깔끔하게 정의할 수는 없다.
백과사전에서는 타원체를 타원면으로 둘러싸인 입체라고 정의하고 있지만, 필자는 이를 매력적인 정의라고 생각하지 않는다.
왜냐하면 이것만으로는 불완전하여 추가 설명을 더 해줘야 하기 때문이다.

그것은 타원체의 특성에 그 원인이 있다.
구는 원을 아무 방향으로나 회전시킨 모양이며, 어디에서 어떻게 잘라도 원의 모양을 만들 수 있는 깔끔한 맛이 있다.
하지만, 어떤 방향에서 어떤 각도로 잘라도 타원을 이루는 입체는 구 외에는 없다. 구를 타원체와 구분한다면 존재하지 않는 입체인 것이다.

하지만, XY 평면, YZ 평면, ZX 평면에서 각각 타원인 모양을 각각 그 타원 궤도로 연장한 입체는 가능하며, 우리가 최대한 일반화할 수 있는 타원체가 바로 그것이다.
이것은 위 세 가지 평면 및 그에 평행인 평면으로 자른 단면은 모두 타원이다.

이때, 타원체의 방정식은 x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1이 된다.
여기서 a, b, c는 각각 이 타원체가 x축, y축, z축과 만나는 점의 각각 x좌표, y좌표, z좌표이다.

이 방정식은 장구, 편구를 포함함은 물론 완전한 구(a=b=c일 때)를 만들 수도 있다.

지구타원체와 캐플러의 법칙도 여기에서 쓰면 좋겠으나 내용이 길어졌으므로 따로 글 쓸 것을 약속하며 본 글은 이쯤에서 마친다.

참조 : 백과사전(엠파스, 야후, 네이버)