피타고라스 수의 연구

만물은 수이다. - 피타코라스 -

1. 소개

(유클리드 기하학에서) 직각삼각형을 이루는 유일한 연속된 세 자연수의 세 변의 길이는 3, 4, 5이다. 피타고라스의 정리직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 것이다. 이를 세 변의 길이가 3,4,5인 삼각형에 적용해 보면 '5의 제곱 = 3의 제곱 + 4의 제곱', 즉 '25 = 9 + 16'을 만족하므로 빗변의 길이가 5인 직각삼각형임을 알 수 있다. 피타고라스의 정리에 대한 증명은 여기선 생략한다.

세 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형이 있을 때, 이 세 변의 길이를 피타고라스 3쌍이라고 하고, 그 중 특히 세 수들이 서로소인 경우엔 원시 피타고라스 3쌍이라고 한다. 이를 작은 수부터 순서쌍으로 (3,4,5) 등과 같이 나타내자. (3,4,5)는 '원시 피타고라스 3쌍'이며 (6,8,10)은 그냥 '피타고라스 3쌍'이다. 어떤 '피타고라스 3쌍'에 대해 그 수들을 각각 k(k는 자연수)배한 수는 모두 피타고라스 수가 된다. 피타고라스 수는 무수히 많다. 원시 피타고라스 3쌍도 무한히 많을까? 또 이들을 작은 수부터 빠짐없이 구하는 방법이 없을까? 등등 여기선 '원시 피타고라스 3쌍'을 구하는 문제에 관해 다룰 것이다.

2. 원시 피타고라스 3쌍을 구하는 몇 가지 방법

2.1 방법 첫 번째

n
a
2n+1
b
2n^2+2n
c
2n^2+2n+1
1
3
4
5
2
5
12
13
3
7
24
25
4
9
40
41
5
11
60
61
6
13
84
85
7
15
112
113
8
17
144
145
9
19
180
181
10
21
220
221
...
...
...
...

2.2 방법 두 번째

n
a
4n
b
4n^2-1
c
4n^2+1
1
4
3
5
2
8
15
17
3
12
35
37
4
16
63
65
...
...
...
...

2.3 방법 세 번째

m
n
a
m^2-n^2
b
2mn
c
m^2+n^2
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
2
21
20
29
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
14
60
61
7
2
45
28
53
7
4
33
56
65
7
6
13
84
85
8
1
63
16
65
...
...
...
...
...


최초 작성일 : 1998.4.