남이 한다 하여 의(義) 아니면 좇지 말며, 남이 하지 않는다 하여 의(義)를 버리지 말라 |
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우선, 위 식(식.2)에서 첫번째 식을 생각해 보자. 수의 약속으로부터
1을 n개 합하면 n이 됨은 자명하다.
첫번째 식을 알 때 다음을 생각해 보자.
. | 1열 | 2열 | 3열 | ... | (n-1)열 | n열 | 녹색 합 |
1행 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 | 1 | . |
2행 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 | 1 | 1 |
3행 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 | 1 | 2 |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
n행 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 | 1 | n-1 |
(n+1)행 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 | 1 | n |
황색 합 | 1 | 2 | 3 | ... | n-1 | n | . |
위 표는 (n+1)행 * n열에 모두 1이 들어간 경우로써 전체 수의 합은
(n+1)*n이 된다. 또 이것은 '황색 부분의 수의 합 + 녹색 부분의 수의
합'과 같다. 여기서 황색 부분의 수의 합은 열단위로, 녹색 부분의
수의 합은 행단위로 계산하면 다음과 같다.
전체 수의 합 = n * (n+1)
황색 부분의 수의 합 = 1 + 2 + ... + n
녹색 부분의 수의 합 = 1 + 2 + ... + n
따라서, n(n+1) = 2(1+2+...+n) 즉,
1+2+...+n = n(n+1)/2 (식.2)의 두번째 식을 만들었다.
마찬가지로, 두번째 식을 알 때 다음을 생각해 보자.
. | 1열 | 2열 | 3열 | ... | (n-1)열 | n열 | 녹색 합 |
1행 | 1 | 2 | 3 | ... | n-1 | n | . |
2행 | 1 | 2 | 3 | ... | n-1 | n | 1 |
3행 | 1 | 2 | 3 | ... | n-1 | n | 1+2 |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
n행 | 1 | 2 | 3 | ... | n-1 | n | 1+2+...+(n-1) |
(n+1)행 | 1 | 2 | 3 | ... | n-1 | n | 1+2+...+n |
황색 합 | 1 | 2*2 | 3*3 | ... | (n-1)*(n-1) | n*n | . |
여기서,
전체 수의 합 = (n+1) * (1+2+...+n)
황색 부분의 수의 합 = 1 + 2*2 + ... + n*n
녹색 부분의 수의 합 = 1 + (1+2) + ... + (1+2+...+n)
따라서,
마찬가지 방법으로, 을
알 때, 다음과 같이 유도할 수 있다. 아래에서 'a^b'의 표기는 'a의 b
거듭제곱'의 의미이다.
. | 1열 | 2열 | 3열 | ... | (n-1)열 | n열 | 녹색 합 |
1행 | 1^m | 2^m | 3^m | ... | (n-1)^m | n^m | . |
2행 | 1^m | 2^m | 3^m | ... | (n-1)^m | n^m | 1^m |
3행 | 1^m | 2^m | 3^m | ... | (n-1)^m | n^m | 1^m + 2^m |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
n행 | 1^m | 2^m | 3^m | ... | (n-1)^m | n^m | 1^m + ... + (n-1)^m |
(n+1)행 | 1^m | 2^m | 3^m | ... | (n-1)^m | n^m | 1^m + ... + n^m |
황색 합 | 1^m | 2 * 2^m | 3 * 3^m | ... | (n-1) * (n-1)^m | n * n^m | . |
여기서,
전체 수의 합 = (n+1) * (1^m + 2^m + ... + n^m)
황색 부분의 수의 합 = 1*1^m + 2*2^m + 3*3^m + ... + n*n^m
= 1^(m+1) + 2^(m+1) + ... + n^(m+1) |
위 식은 m = 0, 1, 2, ... 일 경우에 성립한다.
위 식을 이용해 거듭제곱의 합에 관한 식을 다시 정리해 보자.
m | ![]() |
0 | ![]() |
1 | ![]() |
2 | ![]() |
3 | ![]() |
4 | ![]() |
5 | ![]() |
... | ... |
수학적 귀납법으로 이들을 증명해 보는 것도 재밌을 것이다.
위 방식을 적당히 알고리즘화하여 식을 빨리 구하도록 하면 좋겠다.